Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x e^{3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f' (x) = 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 1.4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Passaggio 1.5.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 6 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

Passaggio 1.5.4

Riordina i fattori in $6 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ .

$f' (x) = 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 6 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{3 x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (e^{3 x} \cdot 3)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 2 (3 \cdot e^{3 x})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 6 e^{3 x}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 6 (x (3 e^{3 x})) + 6 e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $3$ per $6$ .

$f'' (x) = 18 (x (e^{3 x})) + 6 e^{3 x} + 6 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $6 e^{3 x}$ e $6 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 18 e^{3 x} x + 12 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i fattori in $18 e^{3 x} x + 12 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $18 x e^{3 x} + 12 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [18 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [12 e^{3 x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (18 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f''' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 18 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f''' (x) = 18 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.2.9

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (12 e^{3 x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

Passaggio 3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (e^{3 x} \cdot 3)$

Passaggio 3.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 12 (3 \cdot e^{3 x})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 36 e^{3 x}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f''' (x) = 18 (x (3 e^{3 x})) + 18 e^{3 x} + 36 e^{3 x}$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $3$ per $18$ .

$f''' (x) = 54 (x (e^{3 x})) + 18 e^{3 x} + 36 e^{3 x}$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $18 e^{3 x}$ e $36 e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$f''' (x) = 54 e^{3 x} x + 54 e^{3 x}$

Passaggio 3.4.4

Riordina i fattori in $54 e^{3 x} x + 54 e^{3 x}$ .

$f''' (x) = 54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $54 x e^{3 x} + 54 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [54 x e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [54 e^{3 x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (54 x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [54 x e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $54 x e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $54 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f^{4} (x) = 54 \frac{d}{d x} (x e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 54 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (54 e^{3 x})$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [54 e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $54$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $54 e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $54 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 \frac{d}{d x} (e^{3 x})$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x))$

Passaggio 4.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x))$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x))$

Passaggio 4.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} (3 \cdot 1))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (e^{3 x} \cdot 3)$

Passaggio 4.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 54 (3 \cdot e^{3 x})$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $3$ per $54$ .

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x}) + 162 e^{3 x}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

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Passaggio 4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{4} (x) = 54 (x (3 e^{3 x})) + 54 e^{3 x} + 162 e^{3 x}$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.4.2.1

Moltiplica $3$ per $54$ .

$f^{4} (x) = 162 (x (e^{3 x})) + 54 e^{3 x} + 162 e^{3 x}$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $54 e^{3 x}$ e $162 e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$

Passaggio 4.4.3

Riordina i termini.

$f^{4} (x) = 162 e^{3 x} x + 216 e^{3 x}$

Passaggio 4.4.4

Riordina i fattori in $162 e^{3 x} x + 216 e^{3 x}$ .

$f^{4} (x) = 162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$ .

$162 x e^{3 x} + 216 e^{3 x}$