Calcolo Esempi

$y = e^{- x} + e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{- x} + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.2.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} (- \frac{d}{d x} x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.2.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.2.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = - e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = - e^{- x} + e^{x}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 2.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 2.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} + e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 3.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Passaggio 3.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f''' (x) = e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Passaggio 3.3.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Passaggio 3.3.6

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f''' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 4.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Passaggio 4.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Passaggio 4.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Passaggio 4.3.9

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$f^{4} (x) = e^{x} + e^{- x}$