Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $x - x^{2}$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{x^{1} - x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 - x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 + x (- x)}$

Passaggio 1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (1 - x)}$

Passaggio 1.1.1.5

Moltiplica $x$ per $1 - x$ .

$\frac{1}{x (1 - x)}$

Passaggio 1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

Passaggio 1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (1 - x)$ .

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.5

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.6.1.2

Dividi $A (1 - x)$ per $1$ .

$1 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.6.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.6.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.6.5

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

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Passaggio 1.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

Passaggio 1.1.6.5.2

Dividi $(B) (x)$ per $1$ .

$1 = A - A x + (B) (x)$

$1 = A - A x + B x$

Passaggio 1.1.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.7.1

Sposta $A$ .

$1 = A - x A + B x$

Passaggio 1.1.7.2

Riordina $B$ e $x$ .

$1 = A - x A + B x$

Passaggio 1.1.7.3

Sposta $A$ .

$1 = - x A + B x + A$

Passaggio 1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A$

Passaggio 1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

Passaggio 1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'equazione come $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1$ in ogni equazione.

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Passaggio 1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = - 1 A + B$ con $1$ .

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Passaggio 1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

Passaggio 1.3.3

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 + B$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Passaggio 1.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 1 A = 1$

Passaggio 1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 1, A = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$

Passaggio 1.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = 1 - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = 1 - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Riscrivi.

$\frac{- 1}{1}$

Passaggio 4.1.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Passaggio 5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

Passaggio 9

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$\ln (\frac{| x |}{| 1 - x |}) + C$