Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec (t) \tan (t)$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $\sec (t) \tan (t)$ da $\sec^{3} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) (\sec^{2} (t))} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) \sec^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t)} d t$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)} d t$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)}$ come ${(\frac{1}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (t)})}^{2} d t$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int {(1 \cos (t))}^{2} d t$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $\cos (t)$ per $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 7

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 8

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Passaggio 10

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 11

Semplifica.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 12

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 12.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 12.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 12.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (x))) + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 arcsec (x))$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}) + C$

Passaggio 13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Passaggio 13.3

$\frac{1}{2}$ e $arcsec (x)$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Passaggio 13.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

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Passaggio 13.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{4} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{4} \sin (2 arcsec (x)) + C$