Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{e^{y}} d y$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1

Nega l'esponente di $e^{y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y$

Passaggio 1.2

Semplifica.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y$

Passaggio 1.2.1.3

Riscrivi $- 1 y$ come $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $e^{- y}$ per $1$ .

$\int e^{- y} d y$

Passaggio 2

Sia $u = - y$ . Allora $d u = - d y$ , quindi $- d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = - y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int - e^{u} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int e^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$- e^{u} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C$