Calcolo Esempi

$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Scomponi $x$ da $x - x^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x^{1} - x^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 - x^{2}}} d x$

Passaggio 1.3

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 1 + x (- x)}} d x$

Passaggio 1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

Passaggio 2

Completa il quadrato.

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Passaggio 2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x + x (- x)$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x - x \cdot x$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.1.4.1

Sposta $x$ .

$x - (x \cdot x)$

Passaggio 2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x - x^{2}$

Passaggio 2.1.5

Riordina $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

Passaggio 2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.4.2

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Passaggio 2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $- - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

Passaggio 2.5.2.1.4.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$e = 0 + \frac{1}{4}$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $0$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4}$

Passaggio 2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

Passaggio 3

Sia $u = x - \frac{1}{2}$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = x - \frac{1}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $x - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{1}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

Passaggio 3.1.4

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

Passaggio 4

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

Passaggio 4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

Passaggio 5

Riscrivi $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

Passaggio 6

Riordina $- u^{2}$ e ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$ .

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

Passaggio 8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\arcsin (2 u) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - \frac{1}{2}$ .

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (2 x - 1) + C$