Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 3

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Passaggio 4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.3

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.4

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.5

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.7

Sottrai $2$ da $3$ .

$\int x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 5.8

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $1$ .

$\int x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$