Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x^{3}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 3 \sec (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ è positivo.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $9$ da $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $9 \tan^{2} (t)$ come ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 (\sec (t)))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola del prodotto a $3 (\sec (t))$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{3^{3} \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $3$ da $3 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $27 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.5

$3$ e $\frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Passaggio 2.2.6

$\sec (t)$ e $\frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

Passaggio 2.2.7

$\frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)}$ e $\tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t)) \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Passaggio 2.2.8

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Passaggio 2.2.9

Eleva $\tan (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Passaggio 2.2.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{\sec (t) (3 {\tan (t)}^{1 + 1})}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Passaggio 2.2.11

Somma $1$ e $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Passaggio 2.2.12

Sposta $3$ alla sinistra di $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Passaggio 2.2.13

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Scomponi $3$ da $3 \sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Passaggio 2.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.2.1

Scomponi $3$ da $9 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Passaggio 2.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Passaggio 2.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Passaggio 2.2.14

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ e $\sec^{3} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Passaggio 2.2.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $3 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Passaggio 2.2.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Passaggio 2.2.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{3 \sec^{2} (t)} d t$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ come ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\sec (t)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Passaggio 4.3

Riscrivi $\tan (t)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Passaggio 4.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

Passaggio 4.5

Scrivi $\cos (t)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Passaggio 4.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (t)$ come $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{6} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$\frac{1}{6} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 11

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 12

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Passaggio 14

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{1}{6} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 16.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

$\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Passaggio 17.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Passaggio 17.3

$\frac{1}{6}$ e $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Passaggio 17.4

Moltiplica $\frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2})$ .

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Passaggio 17.4.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{6 \cdot 2} + C$

Passaggio 17.4.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{12} + C$

Passaggio 18

Riordina i termini.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{12} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$