Calcolo Esempi

$\int \frac{t^{2}}{{(t^{3} - 2)}^{5}} d t$

Passaggio 1

Sia $u = t^{3} - 2$ . Allora $d u = 3 t^{2} d t$ , quindi $\frac{1}{3} d u = t^{2} d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = t^{3} - 2$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $t^{3} - 2$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3} - 2]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{3} - 2$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 2]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$3 t^{2} + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $3 t^{2}$ e $0$ .

$3 t^{2}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{5}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{5}$ .

$\int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{- 5} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 5}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ come $\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{4}}$ per $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

Passaggio 6.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $u^{4}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{1}{3 (4 u^{4})} + C$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- \frac{1}{12 u^{4}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{3} - 2$ .

$- \frac{1}{12 {(t^{3} - 2)}^{4}} + C$