Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

Passaggio 2

Sia $x = 2 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.6

Applica la regola del prodotto a $4 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.7

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Passaggio 3.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.9

Riscrivi $64 \cos^{6} (t)$ come ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.1.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 \cos (t)$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $2 \cos (t)$ da $8 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 3.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 3.2.2.5

Converti da $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ a $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (t)$ come $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 7

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Passaggio 8

Semplifica.

$- t + \tan (t) + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$