Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x + 7}{{(6 x^{2} + 21 x)}^{4}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 6 x^{2} + 21 x$ . Allora $d u = (12 x + 21) d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = (4 x + 7) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 6 x^{2} + 21 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $6 x^{2} + 21 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} + 21 x]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} + 21 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [21 x]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [21 x]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [21 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $21 x$ rispetto a $x$ è $21 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 21 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x + 21 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $21$ per $1$ .

$12 x + 21$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{4}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u^{4} \cdot 3} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{4}$ .

$\int \frac{1}{3 u^{4}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $u^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{- 4} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 4}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ come $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Passaggio 6.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{1}{3 (3 u^{3})} + C$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{1}{9 u^{3}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x^{2} + 21 x$ .

$- \frac{1}{9 {(6 x^{2} + 21 x)}^{3}} + C$