Calcolo Esempi

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u$

Passaggio 2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1

Sposta $u^{6}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 6}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$ come $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{5}}$ per $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C$

Passaggio 4.2.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Passaggio 5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{5 \sin^{5} (x)} + C$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica per $1$ .

$- \frac{1}{5 (\sin^{5} (x) \cdot 1)} + C$

Passaggio 6.2

Frazioni separate.

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{5} (x)}) + C$

Passaggio 6.3

Converti da $\frac{1}{\sin^{5} (x)}$ a $\csc^{5} (x)$ .

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \csc^{5} (x)) + C$

Passaggio 6.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$- (\frac{1}{5} \csc^{5} (x)) + C$

Passaggio 6.5

$\frac{1}{5}$ e $\csc^{5} (x)$ .

$- \frac{\csc^{5} (x)}{5} + C$

Passaggio 6.6

Riordina i termini.

$- \frac{1}{5} \csc^{5} (x) + C$