Calcolo Esempi

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{t}$ come $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

Passaggio 2

Sposta $t^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 4

Espandi $(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 4.3

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 4.4

$3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $1$ da $9$ .

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 6

Poiché $27$ è costante rispetto a $t$ , sposta $27$ fuori dall'integrale.

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{\frac{8}{3}}$ rispetto a $t$ è $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $t^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $t$ è $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$27$ e $\frac{3}{11}$ .

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $27$ per $3$ .

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$