Calcolo Esempi

$\int \frac{2 x \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{x \ln (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x^{2} + 1$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{1}$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{2 u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$ per $1$ .

$\int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u_{2}$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Passaggio 8

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\ln (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (u_{1}) + C$

Passaggio 8.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (x^{2} + 1) + C$