Calcolo Esempi

$\int \frac{3 x^{2} - 10}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 1

Dividi $3 x^{2} - 10$ per $x^{2} - 4 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x^{2}$

$0 x$

$10$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$3$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$	+	$12$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} - 12 x + 12$

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$22$

Passaggio 1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 3 + \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 3 d x + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$3 x + C + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

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Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Scomponi $2$ da $12 x - 22$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1.1

Scomponi $2$ da $12 x$ .

$\frac{2 (6 x) - 22}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 4.1.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 22$ .

$\frac{2 (6 x) + 2 (- 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 4.1.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (6 x) + 2 (- 11)$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Passaggio 4.1.1.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.1.1.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Passaggio 4.1.1.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Passaggio 4.1.1.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Passaggio 4.1.1.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 4.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 4.1.5.2

Dividi $2 (6 x - 11)$ per $1$ .

$2 (6 x - 11) = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 4.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$2 (6 x) + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 4.1.7

Moltiplica.

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Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$12 x + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 4.1.7.2

Moltiplica $2$ per $- 11$ .

$12 x - 22 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 4.1.8

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.8.1

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1.1

Elimina il fattore comune.

$12 x - 22 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 4.1.8.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Passaggio 4.1.8.2

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ e $x - 2$ .

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Passaggio 4.1.8.2.1

Scomponi $x - 2$ da $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Passaggio 4.1.8.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Passaggio 4.1.8.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Passaggio 4.1.8.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$12 x - 22 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Passaggio 4.1.8.2.2.4

Dividi $B (x - 2)$ per $1$ .

$12 x - 22 = A + B (x - 2)$

Passaggio 4.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 x - 22 = A + B x + B \cdot - 2$

Passaggio 4.1.8.4

Sposta $- 2$ alla sinistra di $B$ .

$12 x - 22 = A + B x - 2 B$

Passaggio 4.1.9

Riordina $A$ e $B x$ .

$12 x - 22 = B x + A - 2 B$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$12 = B$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 22 = A - 2 B$

Passaggio 4.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $B = 12$ .

$B = 12$

$- 22 = A - 2 B$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $12$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $- 22 = A - 2 B$ con $12$ .

$- 22 = A - 2 \cdot 12$

$B = 12$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.2.2.1

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $A$ in $- 22 = A - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $A - 24 = - 22$ .

$A - 24 = - 22$

$B = 12$

Passaggio 4.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $A$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Somma $24$ a entrambi i lati dell'equazione.

$A = - 22 + 24$

$B = 12$

Passaggio 4.3.3.2.2

Somma $- 22$ e $24$ .

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

Passaggio 4.3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = 2 B = 12$

Passaggio 4.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 2, B = 12$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2}$

Passaggio 4.5

Rimuovi lo zero dall'espressione.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{1} = x - 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{1} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Passaggio 8

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta ${u_{1}}^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$3 x + C + 2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Passaggio 8.2

Moltiplica gli esponenti in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di ${u_{1}}^{- 2}$ rispetto a $u_{1}$ è $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Passaggio 10

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = x - 2$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 11.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 11.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 11.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

$3 x - \frac{2}{u_{1}} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| x - 2 |) + C$