Calcolo Esempi

$\int \tan^{5} (x) \sec^{7} (x) d x$

Passaggio 1

Metti in evidenza $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Passaggio 2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Passaggio 2.2

Riscrivi ${\tan (x)}^{2 (2)}$ come un elevamento a potenza.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Passaggio 3

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Passaggio 4

Sia $u = \sec (x)$ . Allora $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = \sec (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

$\sec (x) \tan (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5

Espandi ${(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi ${(- 1 + u^{2})}^{2}$ come $(- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2})$ .

$\int (- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2}) u^{6} d u$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (- 1 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Passaggio 5.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2}) u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Passaggio 5.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Passaggio 5.7

Applica la proprietà distributiva.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} \cdot - 1 u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.8

Riordina $u^{2}$ e $- 1$ .

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 \cdot u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\int 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.10

Moltiplica $u^{6}$ per $1$ .

$\int u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.11

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u^{6} - (u^{2} u^{6}) - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{6} - u^{2 + 6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.13

Somma $2$ e $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.14

Metti in evidenza il valore negativo.

$\int u^{6} - u^{8} - (u^{2} u^{6}) + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.15

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{2 + 6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.16

Somma $2$ e $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Passaggio 5.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2 + 2} u^{6} d u$

Passaggio 5.18

Somma $2$ e $2$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4} u^{6} d u$

Passaggio 5.19

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4 + 6} d u$

Passaggio 5.20

Somma $4$ e $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{10} d u$

Passaggio 5.21

Sottrai $u^{8}$ da $- u^{8}$ .

$\int u^{6} - 2 u^{8} + u^{10} d u$

Passaggio 5.22

Riordina $- 2 u^{8}$ e $u^{10}$ .

$\int u^{6} + u^{10} - 2 u^{8} d u$

Passaggio 5.23

Sposta $u^{6}$ .

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int u^{10} d u + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{10}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 \int u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{8}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int u^{6} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{6}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

$\frac{1}{9}$ e $u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{u^{9}}{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{11} (x)}{11} - \frac{2 \sec^{9} (x)}{9} + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{11} \sec^{11} (x) - \frac{2}{9} \sec^{9} (x) + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$