Calcolo Esempi

$\int e^{\sqrt{3 x + 9}} d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = 3 x + 9$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = 3 x + 9$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 9]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{\sqrt{u_{1}}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Passaggio 2

$e^{\sqrt{u_{1}}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{\sqrt{u_{1}}}}{3} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int e^{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Passaggio 4

Sia $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Allora $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , quindi $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 2 u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (2 \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 6

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \int u_{2} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = u_{2}$ e $dv = e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 8

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - (e^{u_{2}} + C))$

Passaggio 9

Semplifica.

$\frac{2}{3} (u_{2} e^{u_{2}} - e^{u_{2}}) + C$

Passaggio 10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sqrt{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{u_{1}} e^{\sqrt{u_{1}}} - e^{\sqrt{u_{1}}}) + C$

Passaggio 10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x + 9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}} - e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Passaggio 11.2

Scomponi $3$ da $3 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x) + 9} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Passaggio 11.2.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 x + 3 \cdot 3} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Passaggio 11.2.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 9}}) + C$

Passaggio 11.3

Scomponi $3$ da $3 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + C$

Passaggio 11.3.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + C$

Passaggio 11.3.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Passaggio 11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Scomponi $3$ da $3 x + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x) + 9}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Passaggio 11.4.1.2

Scomponi $3$ da $9$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 x + 3 \cdot 3}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Passaggio 11.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Passaggio 11.4.2

Moltiplica $\frac{2}{3} (\sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

$\sqrt{3 (x + 3)}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Passaggio 11.4.2.2

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2}{3}$ e $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{\sqrt{3 (x + 3)} \cdot 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Passaggio 11.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{3 (x + 3)}$ .

$\frac{2 \cdot \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + \frac{2}{3} (- e^{\sqrt{3 (x + 3)}}) + C$

Passaggio 11.4.4

$\frac{2}{3}$ e $e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} - \frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Passaggio 11.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Passaggio 11.6

Scomponi $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ da $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}} - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Scomponi $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ da $2 \sqrt{3 (x + 3)} e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) - 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}}{3} + C$

Passaggio 11.6.2

Scomponi $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ da $- 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)}{3} + C$

Passaggio 11.6.3

Scomponi $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}}$ da $2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)}) + 2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (- 1)$ .

$\frac{2 e^{\sqrt{3 (x + 3)}} (\sqrt{3 (x + 3)} - 1)}{3} + C$