Calcolo Esempi

$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int \ln (u) d u$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int w d v = w v - \int v d w$ , dove $w = \ln (u)$ e $dv = 1$ .

$\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

$u$ e $\frac{1}{u}$ .

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (u) u - \int d u$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\ln (u) u - (u + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

$\ln (u) u - u + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$\ln (\ln (x)) \ln (x) - \ln (x) + C$