Calcolo Esempi

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} x \sin (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \cos (x) d x$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$ per $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Passaggio 4

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ e $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Passaggio 5.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Calcola $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ per $2 π$ e per $\frac{π}{2}$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 5.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 5.2.2.2

$\frac{π}{2}$ e $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 5.3.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $π$ per $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{2} + 1)$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + 1)$

Passaggio 5.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Passaggio 5.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Passaggio 5.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{1} + 1)$

Passaggio 5.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- 0 + 1)$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + 1)$

Passaggio 5.3.6

Somma $0$ e $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1 \cdot 1$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - 1$

Passaggio 5.4.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - 1$

Passaggio 5.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - 1$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - 1$

Passaggio 6.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 2 π + 0 - 1$

Passaggio 6.2

Somma $- 2 π$ e $0$ .

$- 2 π - 1$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 2 π - 1$

Forma decimale:

$- 7.28318530 \dots$