Calcolo Esempi

$\int e^{- 3 x} \sec (e^{- 3 x}) \tan (e^{- 3 x}) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{1} = - 3 x$ . Allora $d u_{1} = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{1} = - 3 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) \frac{1}{- 3} d u_{1}$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{1}{3}) d u_{1}$

Passaggio 2.2

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Passaggio 2.3

$\sec (e^{u_{1}})$ e $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Passaggio 2.4

$\tan (e^{u_{1}})$ e $\frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int - \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int \tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 5

Sia $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Allora $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \int \tan (u_{2}) \sec (u_{2}) d u_{2}$

Passaggio 6

Poiché la derivata di $\sec (u_{2})$ è $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ , l'integrale di $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ è $\sec (u_{2})$ .

$- \frac{1}{3} (\sec (u_{2}) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$- \frac{1}{3} \sec (u_{2}) + C$

Passaggio 8

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{u_{1}}) + C$

Passaggio 8.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{- 3 x}) + C$