Calcolo Esempi

$\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$

Passaggio 1

Riordina

$e^{- 3 x}$ e

$\sin (5 x)$ .

$\int \sin (5 x) e^{- 3 x} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

$u = \sin (5 x)$ e

$d v = e^{- 3 x}$ .

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (5 \cos (5 x)) d x$

Passaggio 3

Poiché

$- \frac{1}{3} \cdot 5$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- \frac{1}{3} \cdot 5$ fuori dall'integrale.

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$e^{- 3 x}$ e

$\frac{1}{3}$ .

$\sin (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Passaggio 4.2

$\sin (5 x)$ e

$\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Passaggio 4.3

Moltiplica

$5$ per

$- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- 5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Passaggio 4.4

$- 5$ e

$\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Passaggio 4.5

Riordina

$e^{- 3 x}$ e

$\cos (5 x)$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int \cos (5 x) e^{- 3 x} d x)$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula

$\int u d v = u v - \int v d u$ , dove

$u = \cos (5 x)$ e

$d v = e^{- 3 x}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

Passaggio 6

Poiché

$- \frac{1}{3} \cdot - 5$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$- \frac{1}{3} \cdot - 5$ fuori dall'integrale.

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$e^{- 3 x}$ e

$\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Passaggio 7.2

$\cos (5 x)$ e

$\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Passaggio 7.3

Moltiplica

$- 5$ per

$- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Passaggio 7.4

$5$ e

$\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Passaggio 7.5

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}) - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Passaggio 7.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{- 5}{3}) \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica

$\frac{- 5}{3}$ per

$1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5}{3} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Passaggio 7.7

Moltiplica

$\frac{- 5}{3}$ per

$\frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{3 \cdot 3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Passaggio 7.8

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica

$- 1$ per

$- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + 1 (\frac{- 5}{3}) (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

Passaggio 7.8.3

Moltiplica

$\frac{- 5}{3}$ per

$1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 5}{3} (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

Passaggio 7.9

Moltiplica

$\frac{5}{3}$ per

$\frac{- 5}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{5 \cdot - 5}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

Passaggio 7.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.1

Moltiplica

$5$ per

$- 5$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

Passaggio 7.10.2

Moltiplica

$3$ per

$3$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{9} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

Passaggio 8

Risolvendo

$\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ , troviamo che

$\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ =

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per

$\frac{34}{9}$ .

$(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi

$(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$ come

$(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$ .

$(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

$\sin (5 x)$ e

$\frac{1}{3}$ .

$(- \frac{\sin (5 x)}{3} e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.3.2

$e^{- 3 x}$ e

$\frac{\sin (5 x)}{3}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.3.3

$\cos (5 x)$ e

$\frac{5}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9} e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.3.4

$e^{- 3 x}$ e

$\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.3.5

Sposta

$5$ alla sinistra di

$\cos (5 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1.1

Riscrivi.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.4.1.2

Sposta

$5$ alla sinistra di

$\cos (5 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.4.1.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{9}) \frac{9}{34} + C$

Passaggio 9.4.2

Sposta

$5$ alla sinistra di

$e^{- 3 x}$ .

$(- \frac{1}{3} e^{- 3 x} \sin (5 x) - \frac{5}{9} e^{- 3 x} \cos (5 x)) \frac{9}{34} + C$