Calcolo Esempi

$\int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (- 8 x) d x$

Passaggio 1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 8$ fuori dall'integrale.

$- 8 \int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = 3 - 4 x^{2}$ . Allora $d u = - 8 x d x$ , quindi $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 3 - 4 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$0 - 8 x$

Passaggio 2.1.4

Sottrai $8 x$ da $0$ .

$- 8 x$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- 8 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 8} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 8 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Passaggio 3.2

$\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$- 8 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 8 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$8 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$8 (\frac{1}{8} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Passaggio 7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 7.1

Semplifica.

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Passaggio 7.1.1

$\frac{1}{8}$ e $8$ .

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 7.1.2

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 7.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $\int \sqrt[3]{u} d u$ per $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Passaggio 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(3 - 4 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$