Calcolo Esempi

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta $5$ .

$4 x - x^{2} + 5$

Passaggio 1.1.2

Riordina $4 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 5$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

Passaggio 1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

Passaggio 1.5.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 5 - - 4$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$e = 5 + 4$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $5$ e $4$ .

$e = 9$

Passaggio 1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x - 2)}^{2} + 9$ .

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x - 2$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x - 2$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 3 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica $\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.1.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.2

Riordina $- 9 \sin^{2} (t)$ e $9$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $9$ da $9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $9$ da $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.5

Scomponi $9$ da $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.6

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $9 \cos^{2} (t)$ come ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 4.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 4.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 4.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 4.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 5

Poiché $9$ è costante rispetto a $t$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 6

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

$\frac{1}{2}$ e $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 11

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 11.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Passaggio 11.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 11.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 11.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 11.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 12

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 14

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 16.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 16.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

Passaggio 16.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

Passaggio 17

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

Passaggio 17.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Passaggio 17.3

$\frac{9}{2}$ e $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Passaggio 17.4

Moltiplica $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.4.1

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 17.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

Passaggio 18

Riordina i termini.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$