Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 2

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 3

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 3.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 3.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Passaggio 3.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Passaggio 3.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Passaggio 3.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Passaggio 4

Moltiplica $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $u^{5}$ per $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica $u^{5}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Passaggio 5.2.2

Somma $5$ e $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{5}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{7}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Passaggio 9

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ e $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ per $\sqrt{3}$ e per $0$ .

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{6}$ come $3^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.1.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.1.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.1.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.3

$\frac{1}{6}$ e $27$ .

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.4

Elimina il fattore comune di $27$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.4.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{8}$ come $3^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.5.3

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.5.4

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.5.4.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.6

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.7

$\frac{1}{8}$ e $81$ .

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.8

Per scrivere $\frac{9}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $8$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.9.1

Moltiplica $\frac{9}{2}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.9.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.11.1

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.11.2

Somma $36$ e $81$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.12

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.13

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Passaggio 10.2.14

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

Passaggio 10.2.15

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

Passaggio 10.2.16

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{117}{8} - 0$

Passaggio 10.2.17

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{117}{8} + 0$

Passaggio 10.2.18

Somma $\frac{117}{8}$ e $0$ .

$\frac{117}{8}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{117}{8}$

Forma decimale:

$14.625$

Forma numero misto:

$14 \frac{5}{8}$