Calcolo Esempi

$\int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 5}{x - 3} d x$

Passaggio 1

Dividi $x^{3} - 3 x^{2} + 5$ per $x - 3$ .

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Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$5$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						$0$

Passaggio 1.6

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
						$0$	+	$0 x$	+	$5$

Passaggio 1.7

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int x^{2} + \frac{5}{x - 3} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} d x + \int \frac{5}{x - 3} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{5}{x - 3} d x$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 \int \frac{1}{x - 3} d x$

Passaggio 5

Sia $u = x - 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 5 (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 \ln (| u |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 5 \ln (| x - 3 |) + C$