Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Passaggio 1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.8.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $3$ da $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

Passaggio 2.9

$x^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

Passaggio 2.10

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{9}$

Passaggio 2.11.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot x^{- \frac{5}{3}}}{9}$

Passaggio 2.11.3

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poiché $- \frac{2}{9}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}]$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$ come ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5}{3} \cdot - 1}$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

$\frac{5}{3}$ e $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 5}{3}}$

Passaggio 3.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{5}{3}}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{5}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1})$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 5 - 3}{3}})$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $3$ da $- 5$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{\frac{- 8}{3}})$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{5}{3} x^{- \frac{8}{3}})$

Passaggio 3.9

$x^{- \frac{8}{3}}$ e $\frac{5}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3})$

Passaggio 3.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{2}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $\frac{2}{9}$ per $1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$

Passaggio 3.11

Moltiplica $\frac{2}{9}$ per $\frac{x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (x^{- \frac{8}{3}} \cdot 5)}{9 \cdot 3}$

Passaggio 3.12

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{9 \cdot 3}$

Passaggio 3.12.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f''' (x) = \frac{10 x^{- \frac{8}{3}}}{27}$

Passaggio 3.12.3

Sposta $x^{- \frac{8}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Poiché $\frac{10}{27}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{10}{27 x^{\frac{8}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{10}{27} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}})$

Passaggio 4.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{8}{3}}}$ come ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1})$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{8}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8}{3} \cdot - 1})$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $\frac{8}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

$\frac{8}{3}$ e $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{8 \cdot - 1}{3}})$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 8}{3}})$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{8}{3}})$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{8}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1})$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 8 - 3}{3}})$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $3$ da $- 8$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{\frac{- 11}{3}})$

Passaggio 4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{8}{3} x^{- \frac{11}{3}})$

Passaggio 4.9

$x^{- \frac{11}{3}}$ e $\frac{8}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{10}{27} \cdot (- \frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3})$

Passaggio 4.10

Moltiplica $\frac{10}{27}$ per $\frac{x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{10 (x^{- \frac{11}{3}} \cdot 8)}{27 \cdot 3}$

Passaggio 4.11

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Moltiplica $8$ per $10$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{27 \cdot 3}$

Passaggio 4.11.2

Moltiplica $27$ per $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80 x^{- \frac{11}{3}}}{81}$

Passaggio 4.11.3

Sposta $x^{- \frac{11}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{80}{81 x^{\frac{11}{3}}}$