Calcolo Esempi

$\int \csc (2 x) \cot (2 x) d x$

Passaggio 1

Sia $u_{2} = \csc (2 x)$ . Allora $d u_{2} = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = \cot (2 x) \csc (2 x) d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u_{2} = \csc (2 x)$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\csc (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.4.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Passaggio 1.1.3.4.2

Riordina i fattori di $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2} u_{2} + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\csc (2 x)$ .

$- \frac{1}{2} \csc (2 x) + C$