Calcolo Esempi

$\int \arccos (2 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \arccos (2 x)$ e $d v = 1$ .

$\arccos (2 x) x - \int x (- \frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}) d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{x \cdot 2}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\arccos (2 x) x - \int - \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arccos (2 x) x - - \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\arccos (2 x) x + 1 \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$ per $1$ .

$\arccos (2 x) x + \int \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 6

Sia $u = 1 - 4 x^{2}$ . Allora $d u = - 8 x d x$ , quindi $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = 1 - 4 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $1 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 4 x^{2}]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia.

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Passaggio 6.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 6.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Passaggio 6.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Passaggio 6.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Passaggio 6.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$0 - 8 x$

Passaggio 6.1.4

Sottrai $8 x$ da $0$ .

$- 8 x$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arccos (2 x) x + 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{8}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Passaggio 7.3

Sposta $8$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\arccos (2 x) x + 2 \int - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\arccos (2 x) x + 2 (- \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u)$

Passaggio 9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\arccos (2 x) x - 2 \int \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\arccos (2 x) x - 2 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Passaggio 11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

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Passaggio 11.1.1

$\frac{1}{8}$ e $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- 2}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 11.1.2

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $8$ .

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Passaggio 11.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 (- 1)}{8} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 11.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 11.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 11.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\arccos (2 x) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 11.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\arccos (2 x) x + \frac{- 1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 11.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 11.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 11.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 11.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 11.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 11.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 11.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Riscrivi $\arccos (2 x) x - \frac{1}{4} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$ .

$\arccos (2 x) x + \frac{- u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Passaggio 13.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arccos (2 x) x - \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - 4 x^{2}$ .

$\arccos (2 x) x - \frac{{(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\arccos (2 x) x - \frac{1}{2} {(1 - 4 x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$