Calcolo Esempi

$\int x \cos^{2} (2 x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \cos^{2} (2 x)$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x) d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\int \frac{1}{2} x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} \int x d x + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{8} \sin (4 x) d x)$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (4 x) d x)$

Passaggio 6

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$x (\frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin (4 x)) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{8}$ e $\sin (4 x)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

Passaggio 9

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{8} (\frac{1}{4} (- \cos (u) + C)))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1}{8}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{4 \cdot 8} (- \cos (u) + C))$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

Passaggio 10.1.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$x (\frac{x}{2} + \frac{\sin (4 x)}{8}) - (\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{32} (- \cos (u) + C))$

Passaggio 10.2

Semplifica.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Passaggio 10.3

Semplifica.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{32} (- \cos (u))) + C$

Passaggio 10.3.3

$\frac{1}{32}$ e $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) + C$

Passaggio 10.3.4

Per scrivere $- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot \frac{8}{8} + C$

Passaggio 10.3.5

$- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x)}{8} + \frac{- (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

Passaggio 10.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32}) \cdot 8}{8} + C$

Passaggio 10.3.7

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (u)}{32})}{8} + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 8 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 12.2.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 (- 2) \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) + 4 \cdot - 2 \frac{x^{2}}{4} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Passaggio 12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 (- \frac{\cos (4 x)}{32})}{8} + C$

Passaggio 12.3

Elimina il fattore comune di $8$ .

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Passaggio 12.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\cos (4 x)}{32}$ nel numeratore.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - 8 \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

Passaggio 12.3.2

Scomponi $8$ da $- 8$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 (- 1) \frac{- \cos (4 x)}{32}}{8} + C$

Passaggio 12.3.3

Scomponi $8$ da $32$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

Passaggio 12.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 8 \cdot - 1 \frac{- \cos (4 x)}{8 \cdot 4}}{8} + C$

Passaggio 12.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - \frac{- \cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Passaggio 12.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} - - \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $- - \frac{\cos (4 x)}{4}$ .

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Passaggio 12.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + 1 \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Passaggio 12.4.2.2

Moltiplica $\frac{\cos (4 x)}{4}$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{\cos (4 x)}{4}}{8} + C$

Passaggio 13

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{8} (x \sin (4 x) - 2 x^{2} + \frac{1}{4} \cos (4 x)) + C$