Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

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Passaggio 2.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica $\sec (t)$ per $\sec^{2} (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Eleva $\sec (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 3.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Passaggio 3.2

Somma $1$ e $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{3} (t) d t$

Passaggio 4

Applica la formula di riduzione.

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t) d t$

Passaggio 5

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Passaggio 6.2

Calcola $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$(\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2}) - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} ((\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |)) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Passaggio 6.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{\tan (\frac{π}{4}) \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{1 \sec (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Passaggio 7.2

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{\tan (0) \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Passaggio 7.3

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \sec (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Passaggio 7.4

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Passaggio 7.5

Il valore esatto di $\sec (\frac{π}{4})$ è $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Passaggio 7.6

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

Passaggio 7.7

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

Passaggio 7.8

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{1 \frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.9

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $1$ .

$\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.10

Riscrivi $\frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{2}$ come un prodotto.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.11

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.12

Sposta $2$ alla sinistra di $\sqrt{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.13.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.13.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0 \cdot 1}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.14

Moltiplica $0$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.15

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 7.15.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.15.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.15.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{0}{1} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.15.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} - 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.16

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + 0 + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.17

Somma $\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |))$

Passaggio 7.18

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} (\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 7.19

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

Passaggio 7.20

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

Passaggio 7.21

Per scrivere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$

Passaggio 7.22

Per scrivere $\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.23

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $\sqrt{2} \cdot 2$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 7.23.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 7.23.2

Moltiplica $\frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2} \cdot 2} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 7.23.3

Riordina i fattori di $\sqrt{2} \cdot 2$ .

$\frac{2}{2 \sqrt{2}} + \frac{\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 7.24

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1.1.2.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 8.1.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 + \ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.1.3.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.1.2

$\sqrt{2} + 1$ corrisponde approssimativamente a $2.41421356$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 + \ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1}) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 8.3

Dividi $\sqrt{2} + 1$ per $1$ .

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 + \ln (\sqrt{2} + 1) \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

Forma decimale:

$1.14779357 \dots$

Passaggio 10