Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \sqrt{x^{2} - 2 x + 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}]$ come $\frac{d}{d x} [x - 1]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.2.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 x + 1^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 1)}^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 1.1.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{lower} = \sqrt{0^{2} - 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 - 2 \cdot 0 + 1}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 0 + 1}$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = \sqrt{0 + 1}$

Passaggio 1.3.4

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{1}$

Passaggio 1.3.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = \sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ .

$u_{upper} = \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 1.5.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{1 - 2 + 1}$

Passaggio 1.5.3

Sottrai $2$ da $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{- 1 + 1}$

Passaggio 1.5.4

Somma $- 1$ e $1$ .

$u_{upper} = \sqrt{0}$

Passaggio 1.5.5

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$u_{upper} = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 1.5.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{0} u d u$

Passaggio 2

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{1}^{0}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{2} u^{2}$ per $0$ e per $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Passaggio 3.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.5

Sottrai $\frac{1}{2}$ da $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{2}$

Forma decimale:

$- 0.5$

Passaggio 5