Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{10 - \cos (x)}{10 + \sin (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 10 - \cos (x)$ e $g (x) = 10 + \sin (x)$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [10 - \cos (x)] - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)] - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (- - \sin (x)) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) (1 \sin (x)) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [10 + \sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 4.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(10 + \sin (x)) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{10 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (10 - \cos (x)) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{10 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + (- 1 \cdot 10 - - \cos (x)) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{10 \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 6.4.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{10 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 \cdot 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) - - \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.3

Moltiplica $- - \cos (x)$ .

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Passaggio 6.4.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.3.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.4

Moltiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 6.4.1.4.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 10 \cos (x) + \cos^{2} (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.2

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{10 \sin (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 10 \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.3

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{10 \sin (x) + 1 - 10 \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$

Passaggio 6.5

Riordina i termini.

$\frac{1 + 10 \sin (x) - 10 \cos (x)}{{(10 + \sin (x))}^{2}}$