Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ per $1$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x$

Passaggio 4

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 4.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $x (- e^{- x})$ per $1$ e per $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1})$

Passaggio 7.2

Calcola $e^{u}$ per $- 1$ e per $0$ .

$(1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.6

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.7

Somma $- e^{- 1}$ e $0$ .

$- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0})$

Passaggio 7.3.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.3.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1)$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1)$

Passaggio 8.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1$

Passaggio 8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$1 + \frac{- 1 - 1}{e}$

Passaggio 8.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$1 + \frac{- 2}{e}$

Passaggio 8.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{2}{e}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$1 - \frac{2}{e}$

Forma decimale:

$0.26424111 \dots$

Passaggio 10