Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

Passaggio 1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Nega l'esponente di $e^{2 y}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = y$ e $d v = e^{- 2 y}$ .

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Passaggio 3.2

$y$ e $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Passaggio 4

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- \frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

Passaggio 6

Sia $u = - 2 y$ . Allora $d u = - 2 d y$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = - 2 y$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Passaggio 6.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 2 y$ rispetto a $y$ è $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 6.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 6.2

Sostituisci $y$ con il limite inferiore in $u = - 2 y$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 6.4

Sostituisci $y$ con il limite superiore in $u = - 2 y$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 7.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Passaggio 10.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 12.1

Calcola $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Passaggio 12.2

Calcola $e^{u}$ per $- 2$ e per $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.2

Moltiplica $e^{- 2}$ per $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.3

Sposta $e^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.7.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.7.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.8

Somma $- \frac{1}{2 e^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Passaggio 12.3.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Passaggio 12.3.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

Passaggio 12.3.11

Per scrivere $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.12

$- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ e $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.14

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.15

$- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.16

$e^{2}$ e $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.17

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.18

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.18.1

Scomponi $2$ da $- 2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.18.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 12.3.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 13.2

Scomponi $- 1$ da $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Passaggio 13.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Passaggio 13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

$\frac{e^{2}}{2}$ e $e^{- 2}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $e^{2}$ per $e^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 14.2.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.2.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.2.3

Semplifica $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.3

$\frac{e^{2}}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.5

Riscrivi $- 1 e^{2}$ come $- e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Passaggio 14.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

Passaggio 14.8

Moltiplica $\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.8.1

Moltiplica $\frac{3 - e^{2}}{2}$ per $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

Passaggio 14.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Forma decimale:

$0.14849853 \dots$

Passaggio 16