Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \ln (x^{2} + 1) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x^{2} + 1)$ e $d v = 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x (2 x)}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x)}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 (x^{1} x^{1})}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{1 + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Dividi $x^{2}$ per $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Passaggio 5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Passaggio 5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

Passaggio 5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 0 + 1$

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

Passaggio 5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

Passaggio 5.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

Passaggio 9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.1

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

Passaggio 9.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

Passaggio 10

L'integrale di $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\arctan (x)]_{0}^{1}$ .

$\ln (x^{2} + 1) x]_{0}^{1} - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $\ln (x^{2} + 1) x$ per $1$ e per $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (x]_{0}^{1} - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Passaggio 11.2

Calcola $x$ per $1$ e per $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 ((1) + 0 - (\arctan (x)]_{0}^{1}))$

Passaggio 11.3

Calcola $\arctan (x)$ per $1$ e per $0$ .

$(\ln (1^{2} + 1) \cdot 1) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 11.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\ln (1 + 1) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 11.4.2

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (2) \cdot 1 - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 11.4.3

Moltiplica $\ln (2)$ per $1$ .

$\ln (2) - \ln (0^{2} + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 11.4.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\ln (2) - \ln (0 + 1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 11.4.5

Somma $0$ e $1$ .

$\ln (2) - \ln (1) \cdot 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 11.4.6

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\ln (2) + 0 \ln (1) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 11.4.7

Moltiplica $0$ per $\ln (1)$ .

$\ln (2) + 0 - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 11.4.8

Somma $\ln (2)$ e $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 + 0 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 11.4.9

Somma $1$ e $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\arctan (1) - \arctan (0)))$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - \arctan (0)))$

Passaggio 12.1.1.2

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} - 0))$

Passaggio 12.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - (\frac{π}{4} + 0))$

Passaggio 12.1.2

Somma $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$\ln (2) - 2 (1 - \frac{π}{4})$

Passaggio 12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (2) - 2 \cdot 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\ln (2) - 2 - 2 (- \frac{π}{4})$

Passaggio 12.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{4}$ nel numeratore.

$\ln (2) - 2 - 2 \frac{- π}{4}$

Passaggio 12.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\ln (2) - 2 + 2 (- 1) \frac{- π}{4}$

Passaggio 12.4.3

Scomponi $2$ da $4$ .

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.4.4

Elimina il fattore comune.

$\ln (2) - 2 + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.4.5

Riscrivi l'espressione.

$\ln (2) - 2 - \frac{- π}{2}$

Passaggio 12.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (2) - 2 - - \frac{π}{2}$

Passaggio 12.5.2

Moltiplica $- - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (2) - 2 + 1 \frac{π}{2}$

Passaggio 12.5.2.2

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\ln (2) - 2 + \frac{π}{2}$

Forma decimale:

$0.26394350 \dots$