Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} 6 x^{5} e^{x^{6}} d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{0}^{1} x^{5} e^{x^{6}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Allora $d u_{1} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{1} = x^{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Passaggio 2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Passaggio 2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$6 \int_{0}^{1} {\sqrt{u_{1}}}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ come ${u_{1}}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int_{0}^{1} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{4}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{\frac{2}{1}} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{\sqrt{u_{1}}}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2

Riscrivi ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ come ${u_{1}}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u_{1}}$ come ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{6}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{\frac{3}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.2.4.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$6 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{2}$ .

$6 \int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{2}}{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Passaggio 3.4

$\frac{{u_{1}}^{2}}{2}$ e $e^{{u_{1}}^{3}}$ .

$6 \int_{0}^{1} \frac{{u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}}}{2} d u_{1}$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1})$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{1} \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Passaggio 5.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$3 \int_{0}^{1} {u_{1}}^{2} e^{{u_{1}}^{3}} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Allora $d u_{2} = 3 {u_{1}}^{2} d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{2} = {u_{1}}^{2} d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Differenzia ${u_{1}}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}]$

Passaggio 6.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $u_{1}$ con il limite inferiore in $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ .

$u_{lower} = 0^{3}$

Passaggio 6.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 6.4

Sostituisci $u_{1}$ con il limite superiore in $u_{2} = {u_{1}}^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

Passaggio 6.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 1$

Passaggio 6.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 6.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$3 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{3} d u_{2}$

Passaggio 7

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 \int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$3 (\frac{1}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\frac{3}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{3} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$ per $1$ .

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 10

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola $e^{u_{2}}$ per $1$ e per $0$ .

$(e^{1}) - e^{0}$

Passaggio 11.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica.

$e - e^{0}$

Passaggio 11.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e - 1 \cdot 1$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e - 1$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e - 1$

Forma decimale:

$1.71828182 \dots$

Passaggio 13