Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} x (4 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}} + 5 \sqrt[4]{x}) d x$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[4]{x}$ come $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}} + 5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{1} x (4 x^{\frac{1}{3}}) + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Passaggio 3.2

Riordina $x$ e $4$ .

$\int_{0}^{1} 4 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + x (5 x^{\frac{1}{4}}) d x$

Passaggio 3.3

Riordina $x$ e $5$ .

$\int_{0}^{1} 4 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Passaggio 3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 (x^{1} x^{\frac{1}{3}}) + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Passaggio 3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{1} 4 x^{1 + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Passaggio 3.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Passaggio 3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{3 + 1}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Passaggio 3.8

Somma $3$ e $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x \cdot x^{\frac{1}{4}} d x$

Passaggio 3.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 (x^{1} x^{\frac{1}{4}}) d x$

Passaggio 3.10

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{1 + \frac{1}{4}} d x$

Passaggio 3.11

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} d x$

Passaggio 3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{4 + 1}{4}} d x$

Passaggio 3.13

Somma $4$ e $1$ .

$\int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} + 5 x^{\frac{5}{4}} d x$

Passaggio 3.14

Riordina $4 x^{\frac{4}{3}}$ e $5 x^{\frac{5}{4}}$ .

$\int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} + 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} 5 x^{\frac{5}{4}} d x + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int_{0}^{1} x^{\frac{5}{4}} d x + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{5}{4}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}$ .

$5 (\frac{4}{9} x^{\frac{9}{4}}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 7

$\frac{4}{9}$ e $x^{\frac{9}{4}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 4 x^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 8

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 \int_{0}^{1} x^{\frac{4}{3}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{4}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}]_{0}^{1})$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{3}{7}$ e $x^{\frac{7}{3}}$ .

$5 (\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}]_{0}^{1}) + 4 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1})$

Passaggio 10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Calcola $\frac{4 x^{\frac{9}{4}}}{9}$ per $1$ e per $0$ .

$5 ((\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9}) - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}]_{0}^{1})$

Passaggio 10.2.2

Calcola $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$ per $1$ e per $0$ .

$5 (\frac{4 \cdot 1^{\frac{9}{4}}}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$5 (\frac{4 \cdot 1}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.3

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot {(0^{4})}^{\frac{9}{4}}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{4 (\frac{9}{4})}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0^{9}}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{4 \cdot 0}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.7

Moltiplica $4$ per $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.8

Elimina il fattore comune di $0$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.8.1

Scomponi $9$ da $0$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 (0)}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.8.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{9 \cdot 0}{9 \cdot 1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 (\frac{4}{9} - \frac{0}{1}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.8.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$5 (\frac{4}{9} - 0) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.9

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$5 (\frac{4}{9} + 0) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.10

Somma $\frac{4}{9}$ e $0$ .

$5 (\frac{4}{9}) + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.11

$5$ e $\frac{4}{9}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.12

Moltiplica $5$ per $4$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.13

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3 \cdot 1}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.14

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.15

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{7}{3}}}{7})$

Passaggio 10.2.3.16

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7})$

Passaggio 10.2.3.17

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.17.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{7}{3})}}{7})$

Passaggio 10.2.3.17.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0^{7}}{7})$

Passaggio 10.2.3.18

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{3 \cdot 0}{7})$

Passaggio 10.2.3.19

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{0}{7})$

Passaggio 10.2.3.20

Elimina il fattore comune di $0$ e $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.20.1

Scomponi $7$ da $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 (0)}{7})$

Passaggio 10.2.3.20.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.20.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Passaggio 10.2.3.20.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1})$

Passaggio 10.2.3.20.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - \frac{0}{1})$

Passaggio 10.2.3.20.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} - 0)$

Passaggio 10.2.3.21

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7} + 0)$

Passaggio 10.2.3.22

Somma $\frac{3}{7}$ e $0$ .

$\frac{20}{9} + 4 (\frac{3}{7})$

Passaggio 10.2.3.23

$4$ e $\frac{3}{7}$ .

$\frac{20}{9} + \frac{4 \cdot 3}{7}$

Passaggio 10.2.3.24

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{20}{9} + \frac{12}{7}$

Passaggio 10.2.3.25

Per scrivere $\frac{20}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7} + \frac{12}{7}$

Passaggio 10.2.3.26

Per scrivere $\frac{12}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20}{9} \cdot \frac{7}{7} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 10.2.3.27

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $63$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.27.1

Moltiplica $\frac{20}{9}$ per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{20 \cdot 7}{9 \cdot 7} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 10.2.3.27.2

Moltiplica $9$ per $7$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12}{7} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 10.2.3.27.3

Moltiplica $\frac{12}{7}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12 \cdot 9}{7 \cdot 9}$

Passaggio 10.2.3.27.4

Moltiplica $7$ per $9$ .

$\frac{20 \cdot 7}{63} + \frac{12 \cdot 9}{63}$

Passaggio 10.2.3.28

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{20 \cdot 7 + 12 \cdot 9}{63}$

Passaggio 10.2.3.29

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.29.1

Moltiplica $20$ per $7$ .

$\frac{140 + 12 \cdot 9}{63}$

Passaggio 10.2.3.29.2

Moltiplica $12$ per $9$ .

$\frac{140 + 108}{63}$

Passaggio 10.2.3.29.3

Somma $140$ e $108$ .

$\frac{248}{63}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{248}{63}$

Forma decimale:

$3.\overline{936507}$

Forma numero misto:

$3 \frac{59}{63}$

Passaggio 12