Calcolo Esempi

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 x + 1$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 5 + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $15$ e $1$ .

$u_{upper} = 16$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

Passaggio 2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{u}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $16$ e per $1$ .

$\frac{1}{3} ((2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{3} (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{1}{3} (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{3} (8 - 2 \cdot 1)$

Passaggio 6.2.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (8 - 2)$

Passaggio 6.2.8

Sottrai $2$ da $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot 6$

Passaggio 6.2.9

$\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\frac{6}{3}$

Passaggio 6.2.10

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

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Passaggio 6.2.10.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3}$

Passaggio 6.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

Passaggio 6.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1}$

Passaggio 6.2.10.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7