Calcolo Esempi

$\int_{0}^{4} \frac{1}{2 + t} d t d t$

Passaggio 1

Sia $u = 2 + t$ . Allora $d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 + t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 + t$ .

$\frac{d}{d t} [2 + t]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 1.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 + t$ .

$u_{lower} = 2 + 0$

Passaggio 1.3

Somma $2$ e $0$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 + t$ .

$u_{upper} = 2 + 4$

Passaggio 1.5

Somma $2$ e $4$ .

$u_{upper} = 6$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 6$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{2}^{6} \frac{1}{u} d u d t$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{6} d t$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $6$ e per $2$ .

$(\ln (| 6 |) - \ln (| 2 |)) d t$

Passaggio 4

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 6 |}{| 2 |}) d t$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $6$ è $6$ .

$\ln (\frac{6}{| 2 |}) d t$

Passaggio 5.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\ln (\frac{6}{2}) d t$

Passaggio 5.3

Dividi $6$ per $2$ .

$\ln (3) d t$

Passaggio 6