Calcolo Esempi

$\int_{0}^{3} e^{t} - e^{- t} d t$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{3} e^{t} d t + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Passaggio 2

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - e^{- t} d t$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} e^{- t} d t$

Passaggio 4

Sia $u = - t$ . Allora $d u = - d t$ , quindi $- d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u = - t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = - t$ .

$u_{lower} = - 0$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 4.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = - t$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$u_{upper} = - 3$

Passaggio 4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

Passaggio 4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$e^{t}]_{0}^{3} - \int_{0}^{- 3} - e^{u} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{t}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\int_{0}^{- 3} e^{u} d u$ per $1$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + \int_{0}^{- 3} e^{u} d u$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{3} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Calcola $e^{t}$ per $3$ e per $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{- 3}$

Passaggio 8.2

Calcola $e^{u}$ per $- 3$ e per $0$ .

$(e^{3}) - e^{0} + (e^{- 3}) - e^{0}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{3} - 1 \cdot 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{3} - 1 + (e^{- 3}) - e^{0}$

Passaggio 8.3.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1 \cdot 1$

Passaggio 8.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e^{3} - 1 + e^{- 3} - 1$

Passaggio 8.3.5

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e^{3} + e^{- 3} - 2$

Forma decimale:

$18.13532399 \dots$

Passaggio 10