Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} - \frac{5}{x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{2} 4 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Passaggio 2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{1}^{2} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Passaggio 3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int_{1}^{2} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Passaggio 5

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{5}{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{5}{x} d x$

Passaggio 7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - (5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 8

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$4 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{2}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Calcola $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $2$ e per $1$ .

$4 ((\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| x |)]_{1}^{2})$

Passaggio 10.1.2

Calcola $\ln (| x |)$ per $2$ e per $1$ .

$4 (\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$4 (\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$4 (\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3.1.4

Somma $2$ e $3$ .

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 (\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3.5

$4$ e $\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Passaggio 10.1.3.6

Per scrivere $- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 10.1.3.7

$- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2)}{3} + \frac{- 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

Passaggio 10.1.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 5 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3}$

Passaggio 10.1.3.9

Moltiplica $3$ per $- 5$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))}{3}$

Passaggio 10.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{4 (2^{\frac{5}{2}} - 2) - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3

Semplifica.

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Passaggio 10.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.2

Moltiplica $4 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ .

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Passaggio 10.3.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{2 + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.2.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.2.4

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2 \cdot 2 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 10.3.2.6.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2^{\frac{4 + 5}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.2.6.2

Somma $4$ e $5$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} + 4 \cdot - 2 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.4

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{| 1 |})}{3}$

Passaggio 10.3.5

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (\frac{2}{1})}{3}$

Passaggio 10.3.6

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2^{\frac{9}{2}} - 8 - 15 \ln (2)}{3}$

Forma decimale:

$1.41006976 \dots$

Passaggio 12