Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} 2 x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{1}^{2} x e^{- x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Allora $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riordina i fattori di $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 2.1.4.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 2^{2}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$u_{upper} = e^{- 4}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$2 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

$u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

Passaggio 5.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Calcola $- \frac{u_{2}}{2}$ per $\frac{1}{e^{4}}$ e per $\frac{1}{e}$ .

$2 ((- \frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Passaggio 5.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}$ come un prodotto.

$2 (- (\frac{1}{e^{4}} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{e^{4}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{e^{4} \cdot 2} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Passaggio 5.2.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{4}$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot e^{4}} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

Passaggio 5.2.2.4

Riscrivi $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ come un prodotto.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e \cdot 2})$

Passaggio 5.2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{2 e})$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}}) + 2 \frac{1}{2 e}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 e^{4}}$ nel numeratore.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $2$ da $2 e^{4}$ .

$2 \frac{- 1}{2 (e^{4})} + 2 \frac{1}{2 e}$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $2$ da $2 e$ .

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 (e)}$

Passaggio 6.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

Passaggio 6.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Passaggio 6.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

Forma decimale:

$0.34956380 \dots$

Passaggio 8