Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 - 5 x$ . Allora $d u = - 5 d x$ , quindi $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 - 5 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$0 - 5$

Passaggio 1.1.4

Sottrai $5$ da $0$ .

$- 5$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 3 - 5 x$ .

$u_{lower} = 3 - 5 \cdot 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$u_{lower} = 3 - 5$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $5$ da $3$ .

$u_{lower} = - 2$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 3 - 5 x$ .

$u_{upper} = 3 - 5 \cdot 2$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$u_{upper} = 3 - 10$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $10$ da $3$ .

$u_{upper} = - 7$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 7$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{u^{2}}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

Passaggio 2.3

Sposta $5$ alla sinistra di $u^{2}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Passaggio 3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} d u)$

Passaggio 5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 5.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{- 2} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} - u^{- 1}]_{- 2}^{- 7}$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $- u^{- 1}$ per $- 7$ e per $- 2$ .

$- \frac{1}{5} ((- {(- 7)}^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{- 7} + {(- 2)}^{- 1})$

Passaggio 7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5} (- - \frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{7}) + {(- 2)}^{- 1})$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $1$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

Passaggio 7.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + \frac{1}{- 2})$

Passaggio 7.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.7

Per scrivere $\frac{1}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 7.2.8

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Passaggio 7.2.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $14$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 7.2.9.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Passaggio 7.2.9.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

Passaggio 7.2.9.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7})$

Passaggio 7.2.9.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{14})$

Passaggio 7.2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2 - 7}{14}$

Passaggio 7.2.11

Sottrai $7$ da $2$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{- 5}{14}$

Passaggio 7.2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{5} (- \frac{5}{14})$

Passaggio 7.2.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{5}{14}$

Passaggio 7.2.14

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{14}$

Passaggio 7.2.15

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{5}{14}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 14}$

Passaggio 7.2.16

Moltiplica $5$ per $14$ .

$\frac{5}{70}$

Passaggio 7.2.17

Elimina il fattore comune di $5$ e $70$ .

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Passaggio 7.2.17.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$\frac{5 (1)}{70}$

Passaggio 7.2.17.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.2.17.2.1

Scomponi $5$ da $70$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Passaggio 7.2.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

Passaggio 7.2.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{14}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{14}$

Forma decimale:

$0.0\overline{714285}$

Passaggio 9