Calcolo Esempi

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

Passaggio 1

Sia $u = π x^{2}$ . Allora $d u = 2 \cdot x π d x$ , quindi $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = π x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x^{2}$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$π (2 x)$

Passaggio 1.1.4

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$2 π x$

Passaggio 1.1.5

Riordina $2 π$ e $x$ .

$x (2 π)$

Passaggio 1.1.6

Riordina $x$ e $2$ .

$2 \cdot x π$

Passaggio 1.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = π \cdot 1$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$u_{lower} = π$

Passaggio 1.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = π \cdot 9$

Passaggio 1.5.2

Sposta $9$ alla sinistra di $π$ .

$u_{upper} = 9 π$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

Passaggio 2

$\sin (u)$ e $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2 π}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2 π}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

Passaggio 5

Calcola $- \cos (u)$ per $9 π$ e per $π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1

Sottrai delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

Passaggio 6.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

Passaggio 6.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 6.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

Passaggio 6.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

Passaggio 6.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

Passaggio 6.1.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $\frac{1}{2 π}$ per $0$ .

$0$