Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int_{1}^{4} (u - 2) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Espandi $(u - 2) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{1}^{4} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.2

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int_{1}^{4} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{1}^{4} u^{1 - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4.6

Sottrai $1$ da $2$ .

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - 2 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 \int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 9.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4})$

Passaggio 9.2

Calcola $2 u^{\frac{1}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3

Semplifica.

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Passaggio 9.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.5

$\frac{2}{3}$ e $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 - 2}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.10

Sottrai $2$ da $16$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.11

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.12

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.13

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.3.13.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.13.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.14

Calcola l'esponente.

$\frac{14}{3} - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.15

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 9.3.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2 \cdot 1)$

Passaggio 9.3.17

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{14}{3} - 2 (4 - 2)$

Passaggio 9.3.18

Sottrai $2$ da $4$ .

$\frac{14}{3} - 2 \cdot 2$

Passaggio 9.3.19

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{14}{3} - 4$

Passaggio 9.3.20

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 9.3.21

$- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{14}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.3.22

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{14 - 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 9.3.23

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.3.23.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$\frac{14 - 12}{3}$

Passaggio 9.3.23.2

Sottrai $12$ da $14$ .

$\frac{2}{3}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2}{3}$

Forma decimale:

$0.\overline{6}$

Passaggio 11