Calcolo Esempi

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \ln (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = \sqrt{x}$ .

$\ln (x) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}})]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (x) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

$\ln (x)$ e $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

$x^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} d x)$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} d x)$

Passaggio 4.3

Moltiplica $x^{\frac{3}{2}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1} d x)$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} d x)$

Passaggio 4.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} d x)$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{3 - 2}{2}} d x)$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - (\frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x)$

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}]_{1}^{4} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{\ln (x) (2 x^{\frac{3}{2}})}{3}$ per $4$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Passaggio 6.2

Calcola $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ per $4$ e per $1$ .

$(\frac{\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{\ln (4) (2 \cdot 8)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.5

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{\ln (4) \cdot 16}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.6

Sposta $16$ alla sinistra di $\ln (4)$ .

$\frac{16 \cdot \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.9

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (1)$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \cdot \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.10

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.11

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.3.12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.12.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.13

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.14

$\frac{2}{3}$ e $8$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.15

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.3.16

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 6.3.17

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 6.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Passaggio 6.3.19

Sottrai $2$ da $16$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{14}{3}$

Passaggio 6.3.20

Moltiplica $\frac{14}{3}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.21

Moltiplica $14$ per $2$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{3 \cdot 3}$

Passaggio 6.3.22

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{16 \ln (4)}{3} - \frac{2 \ln (1)}{3} - \frac{28}{9}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{16 \ln (4) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$\frac{16 \ln (2^{2}) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Passaggio 7.2.2

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{16 (2 \ln (2)) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $2$ per $16$ .

$\frac{32 \ln (2) - 2 \ln (1)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Passaggio 7.2.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{32 \ln (2) - 2 \cdot 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

Passaggio 7.2.5

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{32 \ln (2) + 0}{3} + \frac{- 28}{9}$

Passaggio 7.3

Somma $32 \ln (2)$ e $0$ .

$\frac{32 \ln (2)}{3} + \frac{- 28}{9}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{32 \ln (2)}{3} - \frac{28}{9}$

Forma decimale:

$4.28245881 \dots$