Calcolo Esempi

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{x^{2}}{2}$ per $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

Passaggio 3.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Passaggio 3.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

Passaggio 3.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

Passaggio 6.1.2

$\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ e $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Passaggio 6.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Calcola $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ per $4$ e per $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

Passaggio 6.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $4$ e per $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.2

Sposta $16$ alla sinistra di $\ln (4)$ .

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.3

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Scomponi $2$ da $16 \ln (4)$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.3.2.4

Dividi $8 \ln (4)$ per $1$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.5

Sposta $4$ alla sinistra di $\ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.6

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.6.1

Scomponi $2$ da $4 \ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.6.2.4

Dividi $2 \ln (2)$ per $1$ .

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.8

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.9

Elimina il fattore comune di $16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.9.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.9.2.4

Dividi $8$ per $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.11

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.11.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

Passaggio 6.2.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

Passaggio 6.2.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

Passaggio 6.2.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

Passaggio 6.2.3.11.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

Passaggio 6.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

Passaggio 6.2.3.13

Sottrai $2$ da $8$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

Passaggio 6.2.3.14

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.14.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

Passaggio 6.2.3.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.14.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

Passaggio 6.2.3.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

Passaggio 6.2.3.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

Passaggio 6.2.3.14.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

Passaggio 6.2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Passaggio 7.2.2

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

Passaggio 7.2.4

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

Passaggio 7.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $16$ per $6$ .

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

Passaggio 7.4

Sottrai $12 \ln (2)$ da $96 \ln (2)$ .

$84 \ln (2) - 18$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$84 \ln (2) - 18$

Forma decimale:

$40.22436316 \dots$