Calcolo Esempi

$\int_{- 2}^{0} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $x = 2 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 2 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ è positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $4$ da $4$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $4 \cos^{2} (t)$ come ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Passaggio 2.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 2.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{0} 4 \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$4 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 6.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 \int_{- \frac{π}{2}}^{0} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$2 (\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- \frac{π}{2}}^{0} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 9

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 9.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 9.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 9.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 9.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 9.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 9.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 9.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

Passaggio 9.5

Moltiplica $2$ per $0$ .

$u_{upper} = 0$

Passaggio 9.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = 0$

Passaggio 9.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Passaggio 10

$\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \int_{- π}^{0} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Passaggio 11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{0} \cos (u) d u)$

Passaggio 12

L'integrale di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $\sin (u)$ .

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{0})$

Passaggio 13

$\frac{1}{2}$ e $\sin (u)]_{- π}^{0}$ .

$2 (t]_{- \frac{π}{2}}^{0} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{0}}{2})$

Passaggio 14

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 14.1

Calcola $t$ per $0$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$2 ((0) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u)]_{- π}^{0}}{2})$

Passaggio 14.2

Calcola $\sin (u)$ per $0$ e per $- π$ .

$2 ((0) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (0)) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 14.3

Somma $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$2 (\frac{π}{2} + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 15

Semplifica.

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Passaggio 15.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 (\frac{π}{2} + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Passaggio 15.2

Sottrai $\sin (- π)$ da $0$ .

$2 (\frac{π}{2} + \frac{- \sin (- π)}{2})$

Passaggio 15.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{π}{2} - \frac{\sin (- π)}{2})$

Passaggio 16

Semplifica.

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Passaggio 16.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 16.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$2 (\frac{π}{2} - \frac{\sin (0)}{2})$

Passaggio 16.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$2 (\frac{π}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 16.2

Dividi $0$ per $2$ .

$2 (\frac{π}{2} - 0)$

Passaggio 16.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (\frac{π}{2} + 0)$

Passaggio 16.4

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$2 \frac{π}{2}$

Passaggio 16.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 16.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{π}{2}$

Passaggio 16.5.2

Riscrivi l'espressione.

$π$

Passaggio 17

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$π$

Forma decimale:

$3.14159265 \dots$

Passaggio 18