Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln^{2} (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$x$ e $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi $\ln (x^{2})$ per $1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (x^{2})$ come $2 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

Passaggio 5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Passaggio 6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

Passaggio 8

Applica la regola costante.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Passaggio 9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Calcola $\ln^{2} (x) x$ per $e$ e per $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

Passaggio 9.2

Calcola $\ln (x) x$ per $e$ e per $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

Passaggio 9.3

Calcola $x$ per $e$ e per $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Passaggio 9.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

Passaggio 9.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 10.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $e$ per $1$ .

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 10.1.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 10.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 10.1.6

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 10.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.7.1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 10.1.7.2

Moltiplica $e$ per $1$ .

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

Passaggio 10.1.7.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

Passaggio 10.1.7.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

Passaggio 10.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

Passaggio 10.1.7.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

Passaggio 10.1.8

Somma $e$ e $0$ .

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

Passaggio 10.1.9

Sottrai $e$ da $e$ .

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

Passaggio 10.1.10

Somma $0$ e $1$ .

$e + 0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.11

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$e + 0 - 2$

Passaggio 10.2

Somma $e$ e $0$ .

$e - 2$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e - 2$

Forma decimale:

$0.71828182 \dots$