Calcolo Esempi

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int_{1}^{e} \ln (x) x^{- 2} d x$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 2}$ .

$\ln (x) (- \frac{1}{x})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Passaggio 3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Passaggio 3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Passaggio 3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} - - \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + 1 \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$ per $1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} x^{- 2} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e} + - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

$- \frac{\ln (x)}{x}]_{1}^{e}$ e $- x^{- 1}]_{1}^{e}$ .

$- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}]_{1}^{e}$

Passaggio 7.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Calcola $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1}$ per $e$ e per $1$ .

$(- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1}) - (- \frac{\ln (1)}{1} - 1^{- 1})$

Passaggio 7.2.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.2.1

Dividi $\ln (1)$ per $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1^{- 1})$

Passaggio 7.2.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1 \cdot 1)$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{\ln (e)}{e} - e^{- 1} - (- \ln (1) - 1)$

Passaggio 7.2.2.4

Per scrivere $- (- \ln (1) - 1)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} - (- \ln (1) - 1) \cdot \frac{e}{e}$

Passaggio 7.2.2.5

$- (- \ln (1) - 1)$ e $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} - \frac{\ln (e)}{e} + \frac{- (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.2.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- e^{- 1} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.2.2.7

Per scrivere $- e^{- 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{e}{e}$ .

$- e^{- 1} \cdot \frac{e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.2.2.8

$- e^{- 1}$ e $\frac{e}{e}$ .

$\frac{- e^{- 1} e}{e} + \frac{- \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.2.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- e^{- 1} e - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.2.2.10

Eleva $e$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (e^{1} e^{- 1}) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.2.2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- e^{1 - 1} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.2.2.12

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{- e^{0} - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.2.2.13

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.2.2.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \ln (e) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (e)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.3.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\ln (e))$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (- \ln (1) - 1) e$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Passaggio 7.3.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1 + \ln (e)) - ((- \ln (1) - 1) e)$ .

$\frac{- 1 (1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e)}{e}$

Passaggio 7.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1 + \ln (e) + (- \ln (1) - 1) e}{e}$

Passaggio 7.4

Semplifica.

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Passaggio 7.4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (- 0 - 1) e}{e}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) + (0 - 1) e}{e}$

Passaggio 7.4.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - 1 e}{e}$

Passaggio 7.4.4

Riscrivi $- 1 e$ come $- e$ .

$- \frac{1 + \ln (e) - e}{e}$

Passaggio 7.4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.4.5.1

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$- \frac{1 + 1 - e}{e}$

Passaggio 7.4.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{2 - e}{e}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{2 - e}{e}$

Forma decimale:

$0.26424111 \dots$